Le Scienze + il libro Teorema di Abel-Ruffini - n. 667 - Marzo 2024

Da quasi quattromila anni le civiltà si sono confrontate con la risoluzione delle equazioni; inizialmente di primo grado, poi di secondo, infine quelle di terzo e quarto, finché, giunti alle equazioni di grado superiore al quarto, i matematici si trovarono davanti all’impossibilità di raggiungere un metodo risolutivo.

Tuttavia, occorreva dimostrare tale impossibilità. Nell’Ottocento, il primo a proporre una dimostrazione, sia pure incompleta, del fatto che l’equazione generale di grado 5 non fosse risolubile per radicali fu il matematico modenese Paolo Ruffini. Poco dopo, il norvegese Niels Abel dette la dimostrazione completa del teorema d’impossibilità.

Il teorema di Abel-Ruffini afferma, così, che in generale non è possibile scrivere le soluzioni di un’equazione polinomiale di grado maggiore di 4 in funzione dei coefficienti del polinomio utilizzando solo le quattro operazioni aritmetiche e l’estrazione di radici di indici opportuni. Ciò non significa che per tutti i polinomi di grado 5 sia impossibile scrivere le radici in funzione dei coefficienti, ma che non esiste una formula risolutiva generale.

Tale risultato fu poi inserito in una teoria più generale da Évariste Galois, al quale si deve la conclusiva classificazione dei polinomi come risolubili o non risolubili per radicali a seconda del loro “gruppo di Galois”. Sono seguite infine tecniche diverse (come il metodo di Newton o l’uso di matrici) per il calcolo delle soluzioni approssimate di un’equazione polinomiale in specifici domini, ma una formula generale resta impossibile da ottenere.